5 - Sympy¶

Sympy er en veldig nyttig pakke innenfor samfunnsøknomi. Med den kan vi regne analytisk, det vil si med symboler. I samfunnsøknomi bruker vi mye matematikk som denne pakken kan hjelpe oss med. Vi starter med et eksempel på utregning av profittmaksimum:

Eksempel med optimal mengde arbeidskraft¶

Anta at du er bedriftsleder, og lurer på hvor mange medarbeidere du skal ansette. For en gitt mengde arbeidskraft produseres

Eksempel 1:¶

a definerer produktiviteten til de ansatte. Desto høyere a er, desto mer produktive er de ansatte. Vi kan plotte denne funksjonen:

Eksempel 2:¶

Som vi ser er produktiviteten avtakende, kurven stiger mindre utover i diagrammet. Det er fordi a er mindre enn én. (Forsøk med andre tall for a!)

Når produktfunksjonen er definert, kan vi definere fortjenesten til bedriften, eller "profittfunksjonen" som vi gjerne kaller det i samfunnsøkonomi. La oss si at bedriften betaler hver arbeider w tusen kroner, og at faste utgifter er K.

Fortenesten er pris ganger solgt mengde, p*f(L,a) og kostnadene er lønnskostnader w*L og faste utgifter K. Profittfunksjonen blir da

Eksempel 3:¶

La oss se på den grafisk. Dersom prisen per enhet er hundre kroner, lønna er 2 500 per dag og bedriften har 300 000 i faste utgifter per dag, så ser profittfunksjonen slik ut:

Eksempel 4:¶

Vi bruker metoden med fig,ax=plt.subplots(), siden vi skal bygge på denne grafen.

Vi skal nå begynne å bruke sympy. Det første vi må gjøre er å definere hvilke symboler som skal behandles analytisk (altså som symboler og ikke flyttall). Det gjør vi slik:

Eksempel 5:¶

Med symbolene definert, vil nå vår profittfunksjon vises analytisk når vi bruker de definere symbolene:

Eksempel 6:¶

Vi ønsker å finne ut for hvilken arbeidskraft fortjenesten er størst. Det er det høyeste punktet i figuren fra Eksempel 3. På dette punktet har profittfunksjonen ingen stigning, slik at den deriverte er null. For å finne dette punktet må vi først finne den deriverte. Det gjør vi i sympy med funksjonen diff(). Den tar to argumenter. Det første er funksjonen, det andre er den variabel vi ønsker å derivere med hensyn til.

Som vi ser av figuren i Eksempel 3, så har vi arbeidskraft L langs x-aksen, så det er denne variabelen vi ønsker å derivere med hensyn til. Den deriverte av profitt() med hensyn til L er dermed:

Eksempel 7:¶

Løser førsteordensbetingelsen¶

For å finne punktet der denne deriverte er null, setter vi opp en ligning der den deriverte er null, og løser for den L som tilfredstiller ligningen. En slik ligning kalles "førsteordensbetingelse", eller "first order condition" på engelsk. Vi forkorter den derfor til "foc":

Eksempel 8:¶

Vi kan nå løse førsteordensbetingelsen med funksjonen solve, som ligger i modulen solversi sympy:

Eksempel 9:¶

Legg merke til at resultatet ligger i en liste med lengde 1, så vi må hente ut element 0 i listen for å vise resultatet. Vi kan finne hva den analytiske verdien er i maksimum ved å sette L_maxinn i profittfunksjonen:

Eksempel 10:¶

Vi kan nå beregne de nummeriske verdiene ved å sette inn noen passende tall for de ukjente symbolene. Vi prøver med 0.5 for produktivitet a, 0.3 for lønn w, 1 for prise p og 1 for kapital K. Vi forteller sympy om at vi ønsker å bruke dise verdiene ved å lage et oppslag der hvert av symbolene er nøkkel til hver av de nummeriske verdiene:

Eksempel 11:¶

Vi kan nå finne nummerisk hvor mye arbeidskraft som trengs for å oppnå maksimal fortjeneste:

Eksempel 12:¶

Om vi nå legger dette tallet inn for symbol L, kan vi finne hvor stor fortjenesten er i dette punktet. Vi starter med å legge inn verdien for L som gir maksimal fortjeneste:

Eksempel 13:¶

Med det oppdaterte oppslaget blir fortjenesten

Eksempel 14:¶

Med modulene displayog Markdownfra IPython (pakken som driver Jupyter), kan vi sette dette in i en pen tabell:

Eksempel 15:¶

La oss nå plotte løstningen. Vi plotter her følgende, i rekkefølge:

1. Den opprinnelige profittfunksjonen
2. Den horisontale tangenten som tangerer i maksimumspunktet
3. En vertikal linje som viser mengden arbeidskraft i optimum.

Legg merke til at vi legger inn verdiene vi har definert i num_dict inn i profittfunksjonen. Generelt er det en god idé i programmering å "hardkode" tall minst mulig. Definer det heller tallet som en variabel eller element i en dictog referer til det senere.

Eksempel 16:¶

Eksempel med tilbud og etterspørsel¶

I forelesning 3 definerte vi disse tilbuds og etterspørselsfunksjonene:

Eksempel 17:¶

Og vi tegnet dem slik:

Eksempel 18:¶

Vi løste da likevekten grafisk, ved å se sånn cirka hvor tilbud er lik etterspørsel. Med sympy kan vi la python regne ut dette, og konsument og produsentoverskudd. Vi gjør dette ved å definere mengde x som en eksogen variabel, og sette opp ligningen vi trenger, altså at tilbud skal være lik etterspørsel:

Eksempel 19:¶

Vi kan nå løse dette med solve fra sympy, som i forrige eksempel:

Eksempel 20:¶

Bare én av disse løsningene er gyldige. De to siste i listen x_eqer såkalte "imaginære tall", det ser vi av I'en. Vi går ikke lenger inn på hva dette er her, men nøyer oss med å si at en likevekt ikke kan være et imaginært tall. Løsningen er altså x_eq[0]. Vi kan sette denne inn i enten tilbuds eller etterspørselfunksjonen for å få likevektsprisen

Eksempel 21:¶

Etterspørselskurven kan ses på som en rekke med konsumenter med ulik betalingsvilje i fallende rekkefølge. Alle konsumentene som betaler p_eq har dermed et overskudd som er lik differansen mellom p_eq og konsumentens punkt på etterspørselskurven. Summen av alle konsumentenes overskudd kalles konsumentoverskuddet. Dette kan illustreres ved å legge et skravert område til figuren over

Eksempel 22:¶

Akkrat som at vi kan regnet ut skjæringspunktet med sympy, så kan vi regne ut det skraverte konsumentoverskuddet. Vi bruker da det vi har lært i matematikkurset; arealet under en funksjon er integralet til funksjonen. Vi skal finne arealet under etterspørselsfunksjonen demand(x), men kun ned til prisen p_eq, så vi integrer differansen demand(x)-p_eq. Dette gjør vi for alle omsatte enheter, altså frem til omsatt kvantum x_eq[0].

Vi skal altså integrere demand(x)-p_eq i intervalet 0 til x_eq[0]. Det kan vi gjøre i sympy slik:

Eksempel 23:¶

På samme måte er produsentoverskuddet arealet over tilbuskurven, opp til prisen, altså det gule området i figuren under

Eksempel 24:¶

Vi kan regne ut dette område også, som altså er integralet av differansen mellom prisen og tilbudskruven, frem til x_eq[0].

Eksempel 25:¶

Summen av produsentoverskuddet og konsumentoversdkuddet kalles "velferdsgevinsten". Vi kan finne den ved å legge sammen konsument- og produsentoverskudd:

Eksempel 26:¶

Eller ved å ta integralet av differansen mellom etterspørsel og tilbud:

Eksempel 27:¶

Vi kan nå lage en tabell som oppsumerer resultatene:

Eksempel 28:¶

Oppgaver¶

Løs oppgavene 15, 16, 17 og 19-23 i "Læresteg" i BED-1007 (se canvas for BED-1007), ved bruk av Sympy

< Forrige | Neste >¶

for counter in range(10)